Factorización de trinomios

¿Qué significa?

Definiciones:

Factorizar un polinomio es expresar el polinomio como producto de dos o más factores; es en cierto modo el proceso inverso de la multiplicación.

Para factorizar polinomios, generalmente hacemos uso de las siguientes propiedades o identidades; junto con otras técnicas más.

Trinomio cuadrado perfecto: $$a^2 + 2ab + b^2 = ( a + b )^ 2$$ $$a^2 - 2ab + b^2 = ( a - b )^2$$

Definiciones adicionales:

Factorización de trinomios de la forma: $$x^2 + bx + c$$ Un trinomio de la forma es factorizable sobre los números enteros, si hay dos números p y q tales que $$p * q = c \space\space and \space\space p + q = b$$ Si existen dos números tales, p y q, entonces la forma factorizada de $$x^2 + bx + c = ( x + p)( x + q)$$

Si c < 0 entonces p y q tienen signos diferentes.
Si c > 0 y b > 0, entonces p > 0 y q > 0.
Si c > 0 y b < 0, entonces p < 0 y q < 0.

Factorización de trinomios de la forma: $$ax^2 + bx + c$$ Un trinomio de la forma es factorizable sobre los números enteros, si hay dos números p y q tales que $$p * q = ac \space\space and \space\space p + q = b.$$

Encuentra dos números, p y q, que satisfagan las dos propiedades: $$p * q = a * c \space\space and \space\space q + p = b$$
Escribe el trinomio $$ax^2 + bx + c$$ como un polinomio de cuatro términos: $$ax^2 + px + qx + c$$
Factorizar el polinomio de cuatro términos utilizando agrupación: $$( ax^2 + px ) + ( qx + c )$$

¿Cómo se ve?

Ejemplo de factorización n.° 1$$x^2 - 2x - 8$$

Primero necesitamos encontrar dos números, p y q, cuyo producto sea -8 y cuya suma sea -2.

Sabemos que para que un producto sea negativo, entonces un número debe ser negativo y otro debe ser positivo.

Obtenemos que p = 2 y q = -4.

De este modo $$x^2 - 2x - 8 = ( x + 2)( x – 4 )$$ Ejemplo de factorización n.° 2$$ 6x^2 - 17x + 12$$ Paso 1: $$p * q = 6 * 12 \space\space and \space\space q + p = -17$$

Como b < 0 y c > 0, entonces p y q son ambos números enteros negativos.

p	q	pq = 612 = 72	q+p = -17
-1	-72	72	-73
-2	-36	72	-37
-3	-24	72	-27
-4	-18	72	-22
-6	-12	72	-17
-8	-9	72	-17

Entonces, p = -8 y q = -9.

Paso 2: $$6x^2 - 8x - 9x + 12$$ Paso 3: $$= ( 6x^ 2 - 8x ) - ( 9x - 12 )$$ $$= 2x ( 3x - 4 ) - 3 ( 3x - 4 )$$ $$= ( 2x - 3 ) ( 3x - 4 )$$

Lo usarás...

Los polinomios aparecerán en prácticamente todas las secciones del álgebra y es importante que los comprendas. Los trinomios aparecerán en prácticamente todas las secciones del álgebra y es importante que los comprendas.

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