Definiciones:

El valor absoluto (o módulo) | x | de un número real x es el valor no negativo de x sin tener en cuenta su signo.

Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5 y el valor absoluto de −5 también es 5. El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia desde cero a lo largo de la recta numérica real. Además, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos.

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales:

No negatividad $$|a| ≥ 0$$ Definitividad positiva $$|a| = 0 ⇔ a = 0$$ Multiplicatividad $$|ab| = |a||b|$$ Subaditividad $$|a + b| ≤ |a| + |b|$$

Otras propiedades importantes del valor absoluto incluyen:

Idempotencia (el valor absoluto del valor absoluto es el valor absoluto) $$||a|| = |a|$$ Simetría $$|-a| = |a|$$ Identidad de indiscernibles (equivalente a definitividad positiva) $$|a - b| = 0 ⇔ a = b$$ Desigualdad triangular (equivalente a subaditividad) $$|a - b| ≤ |a - c| + |c - b|$$ Preservación de la división (equivalente a la multiplicatividad) $$|a  /  b| = |a|  /  |b| \space\space if \space\space b ≠ 0$$ (equivalente a subaditividad) $$|a - b| ≥ ||a| - |b||$$

Otras dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son: $$|a| ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b$$ $$|a| ≥ b ⇔ a ≤ -b \space or \space b ≤ a$$

Estas relaciones se pueden utilizar para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo: $$|x - 3| ≤ 9 ⇔ -9 < x - 3 < 9$$ $$⇔ -6 < x < 12$$

De: en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value

El valor absoluto de 5 es 5, es la distancia de 0,5 unidades.

El valor absoluto de -5 es 5 es la distancia de 0,5 unidades.

$$|x| = 2 $$

$$|x| > 2$$

$$For \space |x| < 2, -2 < x < 2$$ $$For \space |x| = 4, -4 = x = 4$$

|7| = 7 significa que el valor absoluto de 7 es 7.

|-7| = 7 significa que el valor absoluto de -7 es 7.

|-2 - x| significa el valor absoluto de -2 menos x.

-|x| significa el negativo del valor absoluto de x.

El valor absoluto de los números reales se da en una amplia variedad de contextos matemáticos; por ejemplo, también se define un valor absoluto para los números complejos, los cuaterniones, los anillos ordenados, los campos y los espacios vectoriales. En la vida real, el valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y normas. Como la profundidad de un océano, el tiempo: 500 a. C. en comparación con 500 d. C.

Valor absoluto y rectas numéricas

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Valor absoluto de números enteros

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Ecuaciones de valor absoluto

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