Ecuación cuadrática

¿Qué significa?

Definiciones:

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo orden en una sola variable x $$ax^2 + bx + c = 0$$ con a ≠ 0 . Como es una ecuación polinómica de segundo orden, el teorema fundamental del álgebra garantiza que tiene al menos una solución. La solución puede ser real o compleja.

Las raíces x se pueden encontrar completando el cuadrado, $$ax^2 + bx + c = 0$$ $$x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}$$ $$(x + \frac{b}{2a}^2) = - \frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$ $$x + \frac{b}{2a} = \frac{\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Resolviendo para x obtenemos $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Ecuación cuadrática - de Wolfram MathWorld

La expresión $$b² - 4ac$$ que aparece en la fórmula cuadrática bajo la raíz cuadrada juega un papel importante en la resolución de ecuaciones cuadráticas. Debido a su importancia: $$b² - 4ac$$ se llama determinante de la ecuación cuadrática $$ax² + bx + c = 0$$

Hay tres casos posibles:

b² - 4ac > 0. En este caso, la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
b² - 4ac = 0. En este caso, la ecuación tiene una raíz real. (llamada raíz doble).
b² - 4ac < 0. En este caso, la ecuación no tiene raíces reales.

¿Cómo se ve?

Ejemplo 1 $$3x^2 + 4x - 5 = 0$$ Añade 5 a ambos lados $$3x^2 + 4x = 5$$ Dividir ambos lados por 3 $$x^2 + \frac{4}{3}x = \frac{5}{3}$$ Añade (2/3) 2 a ambos lados $$x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 = \frac{5}{3} + (\frac{2}{3})^2$$ Factoriza el trinomio en el lado izquierdo y combina las fracciones en el lado derecho $$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{19}{9}$$ Sacar la raíz cuadrada de ambos lados $$x - \frac{2}{3} = \pm\sqrt{\frac{19}{9}}$$ Añade 2/3 a ambos lados. $$x =\frac{2}{3} \pm\sqrt{\frac{19}{9}}$$ Ejemplo 2$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

a = 3, b = -4 y c = 1

Sustituyendo los números en la fórmula cuadrática tenemos: $$x = \frac{- (-4)\pm\sqrt{(-4)^2 - 4 * 3 * 1}}{2 * 3}$$ $$x = \frac{4\pm\sqrt{16 - 12}}{6}$$ $$x = \frac{4\pm\sqrt4}{6} = \frac{4\pm2}{6}$$ $$x_1 = 1 \space and \space x_2 = \frac{1}{3}$$

Lo usarás...

Cálculo de distancia, altura y tiempo de objetos en movimiento.

En aplicación que involucra áreas de los objetos.

En la banca, se calculan las tasas de préstamos y las ganancias.

Otras aplicaciones en las que la ecuación cuadrática es crítica son: relojes de pie, conejos, áreas, canto, impuestos, arquitectura, relojes de sol, parada, electrónica, microchips, refrigeradores, girasoles, aceleración, papel, planetas, balística, tiro, saltos, asteroides, teoría cuántica, caos, ventanas, tenis, bádminton, vuelo, radio, péndulo, clima, caída, ducha, ecuaciones diferenciales, telescopio, golf.

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